Question

4．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=2a，∠ADB=a
（1）如图1，若a=30°，则线段AD、BD、CD之间的数量关系为DC²=DA²+DB²；
（2）若a=45°
①如图2，线段AD、BD、CD满足怎样的数量关系？证明你的结论；
②如图3，点E在线段BD上，且∠BAE=45°，AD=5，BD=4，则DE=$\frac{20\sqrt{2}-25}{4}$．

Answer 1

分析 （1）结论：DC²=DA²+DB²．如图1中，将△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△MAC，连接DM．首先证明△DCM是等边三角形，再证明△ADM是直角三角形即可解决问题．
（2）①结论：DC²=DB²+2DA²．如图2中，作AM⊥AD交DB的延长线于M，连接CM．由△DAB≌△MAC，推出BD=CM，∠ADB=∠AMC=45°推出∠DMC=90°，推出DC²=CM²+DM²，由CM=DB，DM=$\sqrt{2}$AD，即可证明．
②如图3中，在图2的基础上将△AMB绕点A顺时针旋转90°得到△ADG．则△AEG≌△AEB，∠GDE=90°，可得EB=EG，设DE=x．EB=EG=4-x，由AD=AM=5，推出DM=5$\sqrt{2}$，BM=DG=5$\sqrt{2}$-4，在Rt△DEG中，根据DG²+DE²=EG²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）结论：DC²=DA²+DB²．
理由：如图1中，将△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△MAC，连接DM．

∵CD=CM，∠DCM=60°，
∴△DCM是等边三角形，
∴DM=CD=CM，
∵∠ADB=30°，
∴∠DAB+∠DBA=150°，
∵∠MAC=∠DBC，
∴∠MAC+∠DAB=∠DBC+∠DAB=∠DBA+∠ABC+∠DAB=150°+60°=210°，
∴∠DAM=360°-210°-60°=90°，
∴DM²=DA²+AM²，∵AM=DB，DM=DC，
∴DC²=DA²+DB²．
故答案为DC²=DA²+DB²．

（2）①结论：DC²=DB²+2DA²．
理由：如图2中，作AM⊥AD交DB的延长线于M，连接CM．

∵∠ADM=45°，∠DAM=90°，
∴∠ADM=∠AMD=45°，
∴DA=AM，DM=$\sqrt{2}$DA，
∵∠DAM=∠BAC，
∴∠DAB=∠MAC，∵AB=AC，
∴△DAB≌△MAC，
∴BD=CM，∠ADB=∠AMC=45°
∴∠DMC=90°，
∴DC²=CM²+DM²，
∵CM=DB，DM=$\sqrt{2}$AD，
∴DC²=DB²+2DA²．

②如图3中，在图2的基础上将△AMB绕点A顺时针旋转90°得到△ADG．

则△AEG≌△AEB，∠GDE=90°，可得EB=EG，设DE=x．EB=EG=4-x，
∵AD=AM=5，
∴DM=5$\sqrt{2}$，BM=DG=5$\sqrt{2}$-4，
在Rt△DEG中，∵DG²+DE²=EG²，
∴（5$\sqrt{2}$-4）²+x²=（4-x）²，
解得x=$\frac{20\sqrt{2}-25}{4}$．
故答案为=$\frac{20\sqrt{2}-25}{4}$．

点评 本题考查时间最综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线（旋转法），构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．