Question

（2013•历城区三模）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=2，AB=4，BC=5，点P为AB边上一动点，连接PC、PD，若△PCD为直角三角形，则满足条件的点P有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：首先过点D作DE⊥BC于点E，可求得CD的长，然后分别从当∠CPD=90°时与当∠PDC=90°时，去分析求解即可求得答案．

解答：解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=4，BE=AD=2，
∴CE=BC-BE=3，
∴CD=5；
①当∠CPD=90°时，
则∠APD+∠BPC=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∵AD∥BC，∠BAD=90°，
∴∠B=∠A=90°，
∴△APD∽△BCP，
∴

AP

BC

=

BP

AD

，
设AP=x，
则BP=AB-AP=4-x，
则

x

5

=

2

4-x

，
此时无解；
②若∠PDC=90°，
则PD²=AD²+AP²=4+x²，PC²=PB²+BC²=25+（4-x）²，
∵CD²+PD²=PC²，
∴4+x²+25=25+（4-x）²，
解得：x=1.5．
故选A．

点评：此题考查了梯形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．