Question

将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为20cm，点O为正方形的中心，AB=5cm，则CD长为（　　）

• A、10cm
• B、15cm
• C、20cm
• D、30cm

Answer 1

分析：由三个角为直角的四边形为矩形得到OBEC为矩形，然后根据O为正方形的中心，得到EO为角CEB的平分线，又OC垂直于EC，OB垂直于EB，根据角平分线定理得到OC=OB，故四边形OBEC为正方形，且边长为大正方形边长的一半，由大正方形的边长求出正方形OBEC的边长，即可得到CE即OB的长，由EC与OB平行，得到两对同位角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到三角形DCE与三角形DOA相似，根据相似得比例，即可求出CD的长．

解答：解：如图，
∵OC⊥CE，OB⊥EB，
∴∠OCE=∠OBE=90°，又∠CEB=90°，
∴OBEC为矩形，
∵点O为正方形的中心，
∴EO平分∠CEB，又OC⊥CE，OB⊥EB，
∴OC=OB，
∴四边形BOCE是正方形，CE=OB=20÷2=10cm，
∵CE∥AO，
∴∠CED=∠BAE，又∠DCE=∠EBA=90°，
∴△DCE∽△DOA，
∴

DC

DO

=

CE

AO

，
即

DC

DC+10

=

10

10+5

，
解得DC=20cm．
故选C

点评：本题主要考查正方形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质．其中正方形各边都相等，每个角都是直角的性质和相似三角形对应边成比例的性质，需要熟练掌握并灵活运用．