Question

一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．
（1）当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积S（米²）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（π取3.14，结果精确到0.1米）．

Answer 1

解：（1）当AD=4米时，
S_半圆=π×（）²=π×2²
=2π（米²）．

（2）①∵AD=2r，AD+CD=8
∴CD=8-AD=8-2r
∴S=πr²+AD•CD=π r²+2r（8-2r）
⁼（π-4）r²+16r．
②由①知CD=8-2r，
又∵2≤CD≤3，
∴2≤8-2r≤3，
∴2.5≤r≤3．
由①知S=（π-4）r²+16r≈（×3.14-4）r²+16r
=-2.43r²+16r
=
∵-2.43＜0，
∴函数图象为开口向下的抛物线．
∵函数对称轴≈3.3
又因为2.5≤r≤3＜3.3，
由函数图象知，其图象在对称轴左侧，函数为增函数，即S随r的增大而增大，
故当r=3时，有S最大值．
S最大值=（π-4）×3²+16×3
≈（×3.14-4）×9+48
=26.13
≈26.1（米²）
答：隧道截面的面积S的最大值约为26.1米²．
分析：（1）已知直径求半圆面积，简单；
（2）截面面积=半圆面积+矩形面积．分别用含r的式子表示两个部分的面积可得函数关系式，根据关系式画图回答问题．
点评：此题的最后一个问题应注意函数自变量的取值范围，在此范围内通过观察图象求出最值，往往并非是函数的最值．