Question

【题目】如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2 个单位长度，点P为直线y=﹣x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．
（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；
（2）求点P的坐标
（3）若直线y=﹣x+8沿x轴向左平移得到一条新的直线y1=﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；
（4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】
（1）解：四边形OCPD为正方形．理由如下：

连接OC、OD，如图甲，

∵PC和PD为切线，

∴OC⊥PC，PD⊥PD，

而PC⊥PD，

∴∠OCP=∠ODP=∠CPD=90°，

∴四边形OCPD为矩形，

而OC=OD，

∴四边形OCPD为正方形.

（2）解：作PF⊥x轴于F，如图甲，

∵四边形OCPD为正方形，

∴OP= OD= 2 =2 ，

设P（t，﹣t+8），

∴t2+（﹣t+8）2=（2 ）2，解得t1=2，t2=6，

∴P点坐标为（2，6）或（6，2）

（3）解：如图乙，

∵直线y1=﹣x+b将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，

即直线y1=﹣x+b将⊙O的圆周分得的劣弧为圆周的 ，

∵直线y1=﹣x+b与坐标轴的夹角为45°，

∴直线y1=kx+b与坐标的交点A和点B为⊙O与坐标的交点，

当点A和点B都在坐标轴的正半轴上时，b=2 ；当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，b=﹣2 ，

即b的值为±2

（4）解：当x=0时，y=﹣x+8=8，则A（0，8），

当y=0时，﹣x+8=0，解得x=8，则B（8，0），

∴OA=OB，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴∠ABO =45°，

当圆移动到点O′时与直线AB相切，作O′M⊥AB，如图丙，则O′M=2 ，

∵∠MBO′=45°，

∴△O′BM为等腰直角三角形，

∴BO′= O′B=2 ，

∴OO′=8﹣2 ，

∴点O′的坐标为（8﹣2 ，0），

当圆移动到点O″时与直线AB相切，作O″N⊥AB，如图丙，同理可得B O″=2 ，

∴OO′=8+2 ，

∴点O″的坐标为（8+2 ，0），

∴当⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围为8﹣2 ≤m≤8+2 ．

【解析】（1）四边形OCPD为正方形．理由如下：连接OC、OD（如图甲），根据切线性质知OC⊥PC，PD⊥PD，结合已知条件得∠OCP=∠ODP=
∠CPD=90°，再由矩形判定得四边形OCPD为矩形，又根据一组邻边相等的矩形是正方形即可得证.
（2）作PF⊥x轴于F（如图甲），由正方形性质知OP= OD=2 ，设P（t，﹣t+8），根据勾股定理得一个方程，解之即可得出P点坐标.
（3）如图乙，由已知得直线y1=﹣x+b将⊙O的圆周分得的劣弧为圆周的 ，再分情况讨论：①当点A和点B都在坐标轴的正半轴上时，b=2 ；②当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，b=﹣2 ；从而得出答案.

（4）由直线解析式可知A（0，8），B（8，0），从而得出△OAB为等腰直角三角形，再分情况讨论：①当圆移动到点O′时与直线AB相切，作O′M⊥AB（如图丙），从而得△O′BM为等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质知BO′= O′B=2 ，从而得点O′的坐标为（8﹣2 ，0）；

②当圆移动到点O″时与直线AB相切，作O″N⊥AB（如图丙），由等腰直角三角形性质知B O″=2 ，从而得点O″的坐标为（8+2 ，0），

从而得出答案.