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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，当两动点运动了t秒时．解答下列问题：
    （1）点P的坐标为（
    4-t
    4-t
    ，
    3
    4
    t
    3
    4
    t
     ）．（用含t的式子表示）；
    （2）若△MPA的面积为S，当S=
    3
    2
    时，求t的值；
    （3）若点Q在y轴上，当S=
    3
    2
    且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．
    分析：（1）由BN=t，根据BC-BN表示出CN，即为N的横坐标，由三角形CNP与三角形CBA相似，根据相似得比例列出关系式，表示出NP，由AB-NP求出P的纵坐标，即可确定出P的坐标；
    （2）三角形APM以AM为底，根据OA-OM表示出AM，高为P的纵坐标，利用三角形的面积公式列出关于t的方程，求出方程的解即可得到此时t的值；
    （3）根据（2）得出此时N为BC的中点，设Q（0，y），根据勾股定理分别表示出AQ2，QN2，AN2，由三角形QAN为等腰三角形，分三种情况考虑：①若AQ=AN；②若AQ=QN；③若QN=AN，分别求出对应y的值，确定出Q的坐标，根据Q的坐标设出直线AQ方程，将A坐标代入即可确定出直线AQ的解析式．
    解答：解：（1）延长NP，交OA于点E，可得出PE⊥OA，
    ∵BN=t，BC=4，
    ∴CN=BC-BN=4-t，
    ∵∠CNP=∠CBA=90°，∠NCP=∠BCA，
    ∴△CNP∽△CBA，
    ∴
    CN
    CB
    =
    NP
    AB
    ，即
    4-t
    4
    =
    NP
    3
    ，
    ∴NP=
    3
    4
    （4-t）=3-
    3
    4
    t，
    ∴PE=NE-NP=3-（3-
    3
    4
    t）=
    3
    4
    t，
    则P的坐标为（4-t，
    3
    4
    t）；

    （2）在△MPA中，MA=4-t，MA上的高PE=
    3
    4
    t，
    ∴S=S△MPA=
    1
    2
    （4-t）•
    3
    4
    t，又S=
    3
    2
    ，
    ∴
    1
    2
    （4-t）•
    3
    4
    t=
    3
    2
    ，
    解得：t1=t2=2，
    则当t=2时，S=
    3
    2
    ；

    （3）由（2）可知：S=
    3
    2
    时，t=2，此时点N在BC的中点处，
    设Q（0，y），则AQ2=OA2+OQ2=42+y2，QN2=CN2+CQ2=22+（3-y）2，AN2=AB2+BN2=32+22，
    由△QAN为等腰三角形，分三种情况考虑：
    ①若AQ=AN，即42+y2=32+22，此时方程无解；
    ②若AQ=QN，即42+y2=22+（3-y）2，解得：y=-
    1
    2
    ；
    ③若QN=AN，即22+（3-y）2=32+22，解得：y1=0，y2=6，
    ∴Q1（0，-
    1
    2
    ），Q2（0，0），Q3（0，6），
    当Q为（0，-
    1
    2
    ）时，设直线AQ的解析式为y=kx-
    1
    2
    ，
    将A（4，0）代入得k=
    1
    8
    ，此时直线AQ的解析式为y=
    1
    8
    x-
    1
    2
    ；
    当Q为（0，0）时，A、Q两点均在x轴上，此时直线AQ的解析式为y=0；
    当Q为（0，6）时，Q、N、A在同一直线上，△QAN不存在，故舍去，
    综上，直线AQ的解析式为y=
    1
    8
    x-
    1
    2
    或y=0．
    故答案为：4-t；
    3
    4
    t．
    点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法确定一次函数解析式，利用了分类讨论的思想，分类讨论时不重不漏，考虑问题要全面．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
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    k
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    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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