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如图,已知二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数上,且与x轴交于AB两点.
(1)若二次函数的对称轴为,试求a,c的值;
(2)在(1)的条件下求AB的长;
(3)若二次函数的对称轴与x轴的交点为N,当NO+MN取最小值时,试求二次函数的解析式.

【答案】分析:(1)根据对称轴x=-=-,求得二次函数y=ax2+2x+c(a>0)中的a,再根据顶点在反比例函数上,求出c即可;
(2)求得抛物线与x轴的交点坐标,再用点B的横坐标减去点A的横坐标即可.
(3)可用含有a的式子表示点M、N的坐标,即求出a的值,再求得解析式.
解答:解:(1)∵二次函数的对称轴为
∴-=-
解得a=2,
∵二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数上,
∴顶点为(-,c-),
(c-)=-3,
解得c=-
∴二次函数的解析式为y=2x2+2x-

(2)∵二次函数的解析式为y=2x2+2x-
∴令y=0,2x2+2x-=0;
解得x=
∴AB==2

(3)根据对称轴x=-,当x=-时,y=-3a,
∴NO+MN=+3a≥2=2,当3a=时NO+MN最小,
 即3a2=1时,a=
∴c=0,
∴此时二次函数的解析式为y=x2+2x.
点评:本题是二次函数的综合题,其中涉及到的知识点有最值问题和两点之间的距离等知识点,是各地中考的热点和难点,解题时注意数形结合等数学思想的运用,同学们要加强训练,属于中档题.
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如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,1),直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(
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2
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),B点在y轴上,直线与x轴的交点为F,P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点.
(1)求k,m的值及这个二次函数的解析式;
(2)设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、E、D为顶点的精英家教网三角形与△BOF相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)求此二次函数的解析式,并写出它的对称轴;
(2)若直线l:y=kx(k>0)与线段BC交于点D(不与点B,C重合),则是否存在这样的直线l,使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
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(1)求b的值及这个二次函数的关系式;
(2)设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点,则四边形DCEP能否构成平行四边形?如果能,请求出此时P点的坐标;如果不能,请说明理由.
(4)以PE为直径的圆能否与y轴相切?如果能,请求出点P的坐标;如果不能,请说明理由.

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(2012•衡水一模)如图,已知二次函数y=-
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x2+bx+c
的图象经过A(2,0)、B(0,-6)两点.
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