Question

6．如图，点E是边长为5$\sqrt{2}$的正方形ABCD外一点，∠BED=90°，DE=8，连接AE，则AE的长为7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 解法一：作辅助线，构建直角三角形，先根据勾股定理求对角线BD的长为10，再求BE为6；设EF=a，由相似表示FC的长，在Rt△FDC中，由勾股定理列方程求出a的值，再利用勾股定理求AN和EN的值，最后求出AE的长．
解法二：作辅助线，构建三角形全等，证明△ABE≌△ADN，可得△EAN是等腰直角三角形，可以得出AE的长．
第二种解法计算量小．

解答 解：解法一：过E作EN⊥AD，垂足为N，交BC于M，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠BCD=90°，
∴EN⊥BC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}+（5\sqrt{2}）^{2}}$=10，
在Rt△BED中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
设EF=a，则DF=8-a，
∵∠BED=∠C=90°，∠BFE=∠DFC，
∴△BFE∽△DFC，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{DC}{FC}$，
∴$\frac{6}{a}=\frac{5\sqrt{2}}{FC}$，
∴FC=$\frac{5\sqrt{2}a}{6}$，
∵DF²=FC²+DC²，
∴（8-a）²=（$\frac{5\sqrt{2}}{6}a$）²+（5$\sqrt{2}$）²，
解得：a₁=-42（舍），a₂=$\frac{6}{7}$，
∴EF=$\frac{6}{7}$，FC=$\frac{5\sqrt{2}}{7}$，BF=5$\sqrt{2}$-$\frac{5\sqrt{2}}{7}$=$\frac{30\sqrt{2}}{7}$，
cos∠EBC=$\frac{BM}{BE}=\frac{BE}{BF}$，
∴$\frac{BM}{6}=\frac{6}{\frac{30\sqrt{2}}{7}}$，
∴BM=$\frac{21\sqrt{2}}{5}$，
则AN=BM=$\frac{21\sqrt{2}}{5}$，
∴EM=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{21\sqrt{2}}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴EN=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$+5$\sqrt{2}$=$\frac{28\sqrt{2}}{5}$，
∴AE=$\sqrt{E{N}^{2}+A{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{28\sqrt{2}}{5}）^{2}+（\frac{21\sqrt{2}}{5}）^{2}}$=7$\sqrt{2}$，
故答案为：7$\sqrt{2}$．
解法二：如图所示，连接BD，

同解法一计算得：BE=6，
延长ED至N，使DN=BE=6，连接AN，
∴EN=8+6=14，
∵∠BAD=∠BED=90°，
∴A、B、E、D四点共圆，
∴∠ADN=∠ABE，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADN，
∴AN=AE，∠DAN=∠BAE，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAN+∠EAD，
即∠EAN=90°，
∴△EAN是等腰直角三角形，
∴AE=$\frac{EN}{\sqrt{2}}$=$\frac{14}{\sqrt{2}}$=7$\sqrt{2}$．
故答案为：7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，还考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定；熟练掌握正方形的各边相等，各角都是直角，且对边平行；利用勾股定理求边的长，并与相似结合，第一种解法计算量大，要细心．第二种解法计算量小．