Question

【题目】如图1，点，分别是边长为的等边边，上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为

(1)连接，交于点，则在，运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

(2)何时是直角三角形？

(3)如图2，若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交点为.则变化吗？若变化。则说明理由， 若不变，则求出它的度数.

Answer 1

【答案】（1）不变，；（2）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（3）不变，120°.

【解析】

（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP＝BQ．AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM的度数．

（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4t．分别就①当∠PQB＝90°时；②当∠BPQ＝90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．

（3）首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC＝∠MQC．再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数．

解：（1）∠CMQ＝60°不变．

∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°

又由条件得AP＝BQ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ＝∠ACP，

∴∠CMQ＝∠ACP＋∠CAM＝∠BAQ＋∠CAM＝∠BAC＝60°．

（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4t

①当∠PQB＝90°时，

∵∠B＝60°，

∴PB＝2BQ，得4t＝2t，t＝；

②当∠BPQ＝90°时，

∵∠B＝60°，

∴BQ＝2BP，得t＝2（4t），t＝；

∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．

（3）∠CMQ＝120°不变．

∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°

∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，

又由条件得BP＝CQ，

∴△PBC≌△QCA（SAS）

∴∠BPC＝∠MQC

又∵∠PCB＝∠MCQ，

∴∠CMQ＝∠PBC＝180°60°＝120°