Question

（1）观察各图，第①个图中有1个三角形，第②个图中有3个三角形，第③个图中有6个三角形，第④个图中有

 

个三角形，…，根据这个规律可知第n个图中有

 

个三角形（用含正整数n的式子表示）．

（2）问在如图图形中是否存在这样的一个图形，该图形中共有35个三角形？若存在，求出n的值；若不存在请说明理由．
（3）在图⑤中，点B是线段AC的中点，D为AC延长线上的一个动点，记△PDA的面积为S₁，△PDB的面积为S₂，△PDC的面积为S₃．请直接写出S₁、S₂、S₃之间的数量关系：

 

．

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类

专题：

分析：（1）第一个图中三角形的个数为1；
第二个图中三角形的个数为3=1+2；
第三个图中三角形的个数为6=1+2+3；
第四个图中三角形的个数为1+2+3+4=10；
…
第n个图中三角形的个数为1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；
（2）令

n(n+1)

2

=35，看n是否有正整数解即可；
（3）由于B是AC中点，则△PAB和△PBC等底同高，故S_△PBA=S_△PBC，由此可得出S₁+S₃=2S₂．

解答：解：（1）第④个图中有10个三角形，…，根据这个规律可知第n个图中有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

个三角形；
故答案为：10；1+2+3+…+n或

n(n+1)

2

．
（2）假设存在，
即

n(n+1)

2

=35，所以n（n+1）=70
因为n是正整数  所以当n=7时n（n+1）=56当n=8时n（n+1）=72，
所以不存在这样的一个图形，该图形中共有35个三角形．
（3）s₁+s₃=2s₂；
∵点B是线段AC的中点，
∴AB=BC，
∴S_△PAB=S_△PBC，
∴S₁+S₃=2S₂．

点评：本题考查的是规律性问题以及三角形面积的求法；解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值．