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△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0º<α<60º),将线段BC绕点B逆时针旋转60º得到线段BD.(本题图在答题卷上)

(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);

(2)如图2,∠BCE=150º,∠ABE=60º,判断△ABE的形状并加以证明;

(3)在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45º,求α的值.


解:(1)∵AB=AC,∠A=α, ∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=90°-α,

∵∠ABD=∠ABC-∠DBC,∠DBC=60°   即∠ABD=30°-α            ------(2分)

(2)△ABE是等边三角形  

证明:连接AD,CD,ED,

∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD,   则BC=BD,∠DBC=60°

∴△BCD为等边三角形,

在△ABD与△ACD中

AB=AC

AD=AD

BD=CD

∴△ABD≌△ACD,  ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α

∵∠BCE=150°   ∴∠BEC=180°-(30°-α)-150°=α=∠BAD

在△ABD和△EBC中

∠BEC=∠BAD

∠EBC=∠ABD

BC=BD

∴△ABD≌△EBC, ∴AB=BE,

∠ABE=60°           ∴△ABE是等边三角形        ------(4分)

(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°  ∴∠DCE=150°-60°=90°,

∵∠DEC=45°     ∴△DEC为等腰直角三角形    ∴DC=CE=BC,

∵∠BCE=150°  ∴∠EBC=(180°-150°)=15°

∵∠EBC=30°-α=15°        ∴α=30°            ------(4分)


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