Question

【题目】（1）解方程： ；

（2）已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．

①如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

Answer 1

【答案】（1）x1=3，x2=1（2）①△ABC是等腰三角形；理由见解析，②△ABC是直角三角形；③当△ABC是等边三角形，x1=0，x2=-1

【解析】

（1）利用因式分解法即可求出方程的解；

（2）①把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b，从而可判断三角形的形状；

②根据判别式的意义得△=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；

③利用等边三角形的性质得a=b=c，方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程.

（1）移项，得（3-x）2-2x（3-x）=0，

（3-x）（3-x-2x）=0，

∴3-x=0或3-3x=0，

∴x1=3，x2=1

（2）①△ABC是等腰三角形；理由：∵x=-1是方程的根，

∴（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，

∴a+c-2b+a-c=0，

∴a-b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

②∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，

∴4b2-4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2 ，

∴△ABC是直角三角形；

③当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=-1