精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2011•鹤岗模拟)如图,O是边长为a的正方形ABCD的对称中心,P为OD上一点,OP=b(0<b<
2
2
a
),连接AP,把一个边长均大于
2
a
的直角三角板的直角顶点放置于P点处,让三角板绕P点旋转,旋转时保持三角板的两直角边分别与正方形的BC、CD边(含端点)相交,其交点为E、F.
(1)在旋转过程中,PE的长能否与AP的长相等?若能,请作出此时点E的位置,并给出证明;若不能,请说明理由.
(2)探究在旋转过程中,线段EF与AP长的大小关系,并对你得出的结论给予证明.
分析:(1)根据正方形的性质得∠ABP=∠CBP=45°,BA=BC,则△BPA≌△BPC,得PA=PC,于是有当PE运动到PC位置时(点E与C重合)时,PE=AP;
(2)过P点作PM⊥DC于M,PN⊥BC于N,连EF,MN,PC,则PE>PN,PF>PM,利用勾股定理得到EF>MN,即有EF>PA,当点E与N重合,则F点与M重合,此时EF=PA,于是有
线段EF≥AP.
解答:解:(1)在旋转过程中,PE的长能与AP的长相等.如图,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABP=∠CBP=45°,BA=BC,
∴△BPA≌△BPC,
∴PA=PC,
∴当PE运动到PC位置时(点E与C重合)时,PE=AP;

(2)线段EF≥AP.理由如下:
过P点作PM⊥DC于M,PN⊥BC于N,连EF,MN,PC,如图,
∴PE>PN,PF>PM,
而EF=
PE2+PF2
,MN=
PN2+PM2

∴EF>MN,
又∵MN=PC=PA,
∴EF>PA,
当点E与N重合,则F点与M重合,此时EF=PA,
∴在旋转过程中,线段EF≥AP.
点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了正方形、矩形的性质以及勾股定理.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

(2011•鹤岗模拟)如图,P为菱形ABCD的对角线AC上一点,PE⊥AB于E,PF⊥AD于F,PF=3,则PE的长是
3
3

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2011•鹤岗模拟)二次函数y=ax2+bx+c经过三个点A(-3,0)、B(0,3)、C(2,-5),则二次函数解析式为
y=-x2-2x+3
y=-x2-2x+3

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2011•鹤岗模拟)如图,为了测得湖两岸A点和B点之间的距离,一个观测者在C点设桩,使∠ABC=90°,并测得AC长20米,BC长16米,则A点和B点之间的距离为(  )米.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2005年湖南省岳阳市岳化一中高一新生数学综合能力测试(解析版) 题型:选择题

(2011•鹤岗模拟)点P(m,1)在第二象限内,则点Q(-m,0)在( )
A.x轴负半轴上
B.x轴正半轴上
C.y轴负半轴上
D.y轴正半轴上

查看答案和解析>>

同步练习册答案