Question

（2013•黄州区二模）如图，己知点F是正方形ABCD的边CD的中点，BE⊥AF于E，点G，H在直线AF上，且AE=EG=GH．连CG和CH，则下列结论：①tan∠ABE=

1

2

；②∠CGH=45°；③∠DEH=45°；④∠GCH=60°，其中正确的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①②③④

D．①③④

Answer 1

分析：根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，再根据锐角的正切值列式，判断出①正确；连接BG，判断出BE垂直平分线段AG，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BG，然后求出∠ABE=∠GBE，BG=BC，过点B作BK⊥CG于K，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBK=∠GBK，然后求出∠EBK，再根据四边形内角和定理求出∠EGK=135°，然后根据邻补角的定义求出∠CGH=45°，判断出②正确；连接DG，利用∠ABE的正切求出BE=2AE，然后求出AG=BE，再利用“边角边”证明△ABE和△DAG全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=AE，全等三角形对应角相等可得∠DGA=∠AEB=90°，再求出DG=EG，判断出△DEG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠DEH=45°，判断出③正确；连接DH，判断出DG垂直平分EH，求出∠GDH=∠GDE=45°，根据同角的余角相等求出∠GDF=∠DAF，然后求出GF=

1

2

DG，再求出GF=FH，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形CHDG是平行四边形，根据平行四边形对角线的可得∠GCH=∠GDH=45°，判断出④错误．

解答：解：∵BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵∠DAF+∠BAE=∠BAD=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵F是CD的中点，
∴DF=FC=

1

2

CD，
∴tan∠ABE=tan∠DAF=

DF

AD

=

1

2

，故①正确；

连接BG，∵AE=EG，BE⊥AF，
∴BE垂直平分线段AG，
∴AB=BG，∠ABE=∠GBE，
∵AB=BC，
∴BG=BC，
过点B作BK⊥CG于K，
则∠CBK=∠GBK，
∴∠EBK=∠EBG+∠GBK=

1

2

∠ABC=

1

2

×90°=45°，
在四边形BKGE中，∠EGK=360°-90°×2-45°=135°，
∴∠CGH=180°-∠EGK=180°-135°=45°，故②正确；

连接DG，∵tan∠ABE=

AE

BE

=

1

2

，
∴BE=2AE，
∵AG=AE+EG=2AE，
∴AG=BE，
在△ABE和△DAG中，

AD=AB ∠BAE=∠DAF AG=BE

，
∴△ABE≌△DAG（SAS），
∴DG=AE，∠DGA=∠AEB=90°，
∵AE=EG，
∴DG=EG，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴∠DEH=45°，故③正确；

连接DH，∵EG=GH，
∴DG垂直平分EH，
∴∠GDH=∠GDE=45°，
∵∠DGA=90°，
∴∠GDF+∠DFG=90°，
又∵∠DFG+∠DAF=180°-90°=90°，
∴∠GDF=∠DAF，
∴tan∠GDF=

GF

DG

=

1

2

，
∴GF=

1

2

DG，
∵DG=EG=GH，
∴GF=

1

2

GH，
∴GF=FH，
又∵F是CD的中点，
∴DF=FC=

1

2

CD，
∴四边形CHDG是平行四边形，
∴∠GCH=∠GDH=45°，故④错误；
综上所述，正确的有①②③．
故选A．

点评：本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，锐角三角函数，同角的余角相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形以及平行四边形是解题的关键．