Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴y轴的正半轴上，线段OA的长是不等式5x-4＜3（x+2）的最大整数解，线段OB的长是一元二次方程x²-2x-3=0的一个根，将Rt△ABO沿BE折叠，使AB边落在OB边所在的y轴上，点A与点D重合．
（1）求OA、OB的长；
（2）求直线BE的解析式；
（3）在平面内是否存在点M，使B、O、E、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵5x-4＜3（x+2），
5x-4＜3x+6，
2x＜10，
x＜5，
∴OA=4，
∵x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x-3=0，x+1=0，
x=3，x=-1，
∴OB=3，
答：OA=4，OB=3；

（2）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
∵OB=3，
∴B（0，3），
设OE=x，
∵将Rt△ABO沿BE折叠，使AB边落在OB边上，A与D重合，
∴DE=AE，BD=AB=5，
∴DE=AE=4-x，OD=5-3=2，
在Rt△OED中，由勾股定理得：2²+x²=（4-x）²，
解得：x=，
即E的坐标是：（，0）．
设直线BE的解析式是y=kx+b，
∵把B、E的坐标代入得：，
解得：k=-2，b=3，
∴直线BE的解析式是y=-2x+3；

（3）如图所示：
在平面内存在点M，使B、O、E、M为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标是（-，3）或（，3）或（，-3）．
分析：（1）求出不等式的解集，求出OA，求出方程的解，得出OB；
（2）根据对折得出DE=AE，BD=AB=5，设OE=x，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程2²+x²=（4-x）²，求出x，得出E的坐标，设直线BE的解析式是y=kx+b，把B、E的坐标代入求出即可；
（3）分别以OB、BE、OE为对角线，得出符合条件的四边形有三个，根据B、E的坐标即可求出M的坐标．
点评：本题考查了解一元一次不等式，解一元二次方程，勾股定理，平行四边形性质，折叠问题的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：用了方程思想和分类讨论思想．