Question

20．问题原型：如图①，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别为边AB、AD中点，且∠EOF=90°，易得四边形AEOF的面积是正方形ABCD的面积的四分之一．（不用证明）
探究发现：某数学兴趣小组，尝试改变点E、F的位置，点E、F分别为边AB、AD上任一点，且∠EOF=90°，如图②，探究：四边形AEOF的面积是否为正方形ABCD面积的四分之一？并说明理由．
拓展提升：如图③，菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，且点E、F分别在边DC、BC上，四边形AECF的面积是菱形ABCD面积的几分之一？（直接写出结果即可）

Answer 1

分析 探究发现：只要证明△AOE≌△DOF，可得S_{四边形AEOF}=S_△AOD，推出S_{四边形AEOF}=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}；
拓展提升：结论：S_{四边形AEGF}=$\frac{1}{2}$S_菱形ABGD．只要证明△DAE≌△GAF即可解决问题；

解答 解：探究发现，四边形AEOF的面积是否为正方形ABCD面积的四分之一．
理由：如图②中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DO=AO，∠ODF=∠OAE=45°，∠DOA=90°，△AOD的面积是正方形ABCD面积的四分之一，
∵∠EOF=90°，
∴∠AOE+∠AOF=90°，又∠ODF=∠AOF=∠DOA=90°，
∴∠AOE=∠DOF，
∴△AOE≌△DOF，
∴S_{四边形AEOF}=S_△AOD，
∴S_{四边形AEOF}=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}．

拓展提升：结论：S_{四边形AEGF}=$\frac{1}{2}$S_菱形ABGD．
理由：如图③中，连接AG．

∵四边形ABGD是菱形，∠DAB=120°，
∴AB=BG=GD=AD，∠GAD=∠GAB=60°，
∴△ADG和△ABG都是等边三角形，
∴∠D=∠AGF=60°，AD=AG，
∵∠DAG=∠EAF=60°，
∴∠DAE=∠GAF，
∴△DAE≌△GAF，
∴S_△DAE=S_△GAF，
∴S_{四边形AEGF}=S_△ADG=$\frac{1}{2}$S_菱形ABGD．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．