如图.抛物线y=ax2+3x+c经过A两点.与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式,(2)若点P在第一象限的抛物线上.且点P的横坐标为t.过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q.设线段PQ的长为m.求m与t之间的函数关系式.并求出m的最大值,(3)当PQ的长度取最大值时.PQ与x轴交点记为D.在x轴上是否存在点E.使以点B.C.E为顶点的三角形与△BQD相似?如果存在.直接写出E点坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

如图，抛物线y=ax²+3x+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；
（3）当PQ的长度取最大值时，PQ与x轴交点记为D，在x轴上是否存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形与△BQD相似？如果存在，直接写出E点坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将x=0代入抛物线解析式中可求出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，由点P的横坐标为t，即可找出点P、Q的坐标，由此即可用含t的代数式表示出PQ的长度，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）①由CO⊥x轴、QD⊥x轴、∠QBD=∠CBO，即可得出△BQD∽△BCO，即存在点E（0，0）使得△BQD∽△BCE；②过点C作EC⊥BC交x轴于点E，由EC⊥BC、QD⊥x轴、∠QBD=∠CBO，即可得出△BQD∽△BEC，再根据点B、C的坐标即可得出∠CBO=45°，利用等腰直角三角形的性质即可得出此时点E的坐标．综上即可得出结论．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+3x+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3+c=0}\\{16a+12+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4．

（2）当x=0时，y=-x²+3x+4=4，
∴C（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（4，0）、C（0，4）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+4．
过点P作x轴的垂线PQ交BC于Q，如图1所示．
∵点P的横坐标为t，
∴P（t，-t²+3t+4），Q（t，-t+4），
∴PQ=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t，
∴m=-t²+4t=-（t-2）²+4（0＜t＜4）．
∴当t=2时，m取最大值，最大值为4．

（3）①∵CO⊥x轴，QD⊥x轴，∠QBD=∠CBO，
∴△BQD∽△BCO，
∴此时点E与点O重合，即E（0，0）；
②过点C作EC⊥BC交x轴于点E，如图2所示．
∵EC⊥BC，QD⊥x轴，∠QBD=∠CBO，
∴△BQD∽△BEC．
∵B（4，0），C（0，4），
∴∠CBO=45°，
∴∠CEO=45°，
∴OE=OB，
∴E（-4，0）．
综上所述：在x轴上存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形与△BQD相似，E点坐标为（0，0）或（-4，0）．

点评本题考查了二次函数综合题、待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据点P的横坐标表示出点P、Q的坐标；（3）根据相似三角形的判定定理找出点E的位置．

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