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【题目】已知,如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)求证:CE2=EHEA;
(3)若⊙O的半径为 ,sinA= ,求BH的长.

【答案】
(1)证明:如图1中,

∵∠ODB=∠AEC,∠AEC=∠ABC,

∴∠ODB=∠ABC,

∵OF⊥BC,

∴∠BFD=90°,

∴∠ODB+∠DBF=90°,

∴∠ABC+∠DBF=90°,

即∠OBD=90°,

∴BD⊥OB,

∴BD是⊙O的切线;


(2)证明:连接AC,如图2所示:

∵OF⊥BC,

=

∴∠CAE=∠ECB,

∵∠CEA=∠HEC,

∴△CEH∽△AEC,

=

∴CE2=EHEA;


(3)解:连接BE,如图3所示:

∵AB是⊙O的直径,

∴∠AEB=90°,

∵⊙O的半径为 ,sin∠BAE=

∴AB=5,BE=ABsin∠BAE=5× =3,

∴EA= =4,

=

∴BE=CE=3,

∵CE2=EHEA,

∴EH=

∴在Rt△BEH中,BH= = =


【解析】(1)如图1中,欲证明BD是切线,只要证明AB⊥BD即可;(2)连接AC,如图2所示,欲证明CE2=EHEA,只要证明△CEH∽△AEC即可;(3)连接BE,如图3所示,由CE2=EHEA,可得EH= ,在Rt△BEH中,根据BH= ,计算即可;

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(1)当AC的长度为多少时,△AMC和△BOD相似;
(2)当点M恰好是线段AB中点时,试判断△AOB的形状,并说明理由;
(3)连结BC.当SAMC=SBOC时,求AC的长.

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1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.

2)为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时,引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%,按此测算,恰好提前两天完成24000个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数.

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2 如图2,将1中的条件改为:在ABC中,AB=ACDAE三点都在直线m,并且有BDA=AEC=BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

3拓展与应用:如图3DEDAE三点所在直线m上的两动点(DAE三点互不重合),FBAC平分线上的一点,ABFACF均为等边三角形,连接BDCE,BDA=AEC=BAC,试判断DEF的形状.

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(1)COE的度数

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(1)求y与x的函数关系式;
(2)该店计划这次选购A、B两种文具的数量共100件,所花资金不超过1000元,并希望全部售完获利不低于296元,若按A种文具每件可获利4元和B种文具每件可获利2元计算,则该店这次有哪几种进货方案?
(3)若A种文具的零售价比B种文具的零售价高2元/件,求两种文具每天的销售利润W(元)与A种文具零售价x(元/件)之间的函数关系式,并说明A、B两种文具零售价分别为多少时,每天销售的利润最大?

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