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如图,在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆与AB交于点E,与AC相切于点D,直线ED交BC的延长线于点F.
(1)求证:BC=FC;
(2)若AD:AE=2:1,求tan∠F的值.
考点:切线的性质
专题:
分析:(1)首先连接BD,由等角的余角相等,易证得∠F=∠EBD.由弦切角定理,易证得∠F=∠CDF.可得CD=CF,又由切线长定理,可得CD=CB,继而可证得BC=FC;
(2)易证得△ADE∽△ABD,然后由相似三角形的对应边成比例,可求得DE:BD=1:2,又由∠F=∠EBD.可求得tan∠F=tan∠EBD=
DE
BD
=
1
2
解答:(1)证明:连接BD.
∵BE是直径,
∴∠BDE=90°,
∴∠EBD=90°-∠BED.
∵∠EBF=90°,
∴∠F=90°-∠BEF.
∴∠F=∠EBD.
∵⊙O切AC于D,
∴∠EBD=∠ADE=∠CDF.
∴∠F=∠CDF.
∴CD=CF,
∵OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线,
由切线长定理可知:CD=CB.
∴BC=FC.

(2)解:在△ADE和△ABD中,
∵∠A=∠A,∠ADE=∠ABD,
∴△ADE∽△ABD,
AE
AD
=
DE
BD

∵AD:AE=2:1.
∴DE:BD=1:2,
又∵∠F=∠EBD.
∴tan∠F=tan∠EBD=
DE
BD
=
1
2
点评:此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、弦切角定理、切线长定理以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
练习册系列答案
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(1)r=
1
2
(a+b-c);
(2)r=
ab
a+b+c

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3
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1
2
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(2)DB•CO=2r2;(r为半径)
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BM
AM
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