Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，BC=6cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形．求：
（1）AB的长度；
（2）请说明AC与BB′的位置关系．并求AC的长度；
（3）阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）首先根据等边三角形的性质可得DF=DC=FC，∠D=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠ECA，再利用平行四边形的性质证明∠DAC=30°，∠ACD=90°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得CD长，进而可得AB的长；
（2）由（1）可知，∠ACD=90°，由AB∥CD，推出∠BAC=∠ACD=90°，再利用勾股定理求出AC即可；
（3）利用三角函数值计算出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ACD，进而可得答案．

解答 解：（1）∵△CDE为等边三角形，
∴DE=DC=EC，∠D=∠CED=60°，
根据折叠的性质，∠BCA=∠B′CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6cm，AB=CD，
∴∠EAC=∠BCA，
∴∠EAC=∠ECA
∴EA=EC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD=3cm，
∵AB=3cm；

（2）结论：AC⊥BB′，
理由：由（1）可知，∠ACD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴AC⊥BB′，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．

（3）∵CD=3cm，∠ACD=90°，∠DAC=30°，
∴AC=3 $\sqrt{3}$cm，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ACD=$\frac{1}{4}$×AC•CD=$\frac{1}{4}$×3×3 $\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$（cm²）．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．