Question

如图，拋物线y₁=ax²-2ax+b经过A（-1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B；

（1）求此拋物线的解析式；
（2）若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点 B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=y₂，求y₂与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与拋物线交于点E，G，与（2）中的函数图像交于点F，H。问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物线y1=ax2-2ax+b经过A（-1，0），C（0，）两点， ∴，∴a=-，b=， ∴拋物线的解析式为y1=-x2+x+； （2）作MN⊥AB，垂足为N。 由y1=-x2+x+易得M（1，2），N（1，0）， A（-1，0），B（3，0）， ∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，∠MBN=45°， 根据勾股定理有BM2-BN2=PM2-PN2， ∴（2）2-22=PM2=-（1-x）2…①， 又∠MPQ=45°=∠MBP， ∴△MPQ~△MBP， ∴PM2=MQ×MB=y2×2…②， 由①、②得y2=x2-x+， ∵0≤x<3， ∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+（0≤x<3）； （3）四边形EFHG可以为平行四边形， m、n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2，且m≠1）， ∵点E、G是抛物线y1=-x2+x+分别与直线x=m，x=n的交点， ∴点E、G坐标为E（m，-m2+m+），G（n，-n2+n+）， 同理，点F、H坐标为F（m，m2-m+），H（n，n2-n+）， ∴EF=m2-m+-（-m2+m+）=m2-2m+1， GH=n2-n+-（-n2+n+）=n2-2n+1， ∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH， ∴m2-2m+1=n2-2n+1， ∴（m+n-2）（m-n）=0， 由题意知m≠n， ∴m+n=2（0≤m≤2，且m≠1）， 因此，四边形EFHG可以为平行四边形， m、n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2，且m≠1）。