已知△ABC中.∠C=90°.AC=4.BC=3．(1)如图1.正方形DEFG内接于△ABC.其中DE在AB上.点G在AC上.点F在BC上.试求出正方形DEFG的边长,(2)①如图2.若三角形内有并排的两个全等的正方形.它们组成的矩形内接于△ABC.则正方形的边长为$\frac{60}{49}$,②如图3.若三角形内有并排的三个全等的正方形.它们组成的矩形内接于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．已知△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）如图1，正方形DEFG内接于△ABC，其中DE在AB上，点G在AC上，点F在BC上，试求出正方形DEFG的边长；（2）①如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为$\frac{60}{49}$；
②如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为$\frac{60}{61}$；
③如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为$\frac{60}{25+12n}$．

分析（1）根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长；
（2）①作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长；
②方法与①类似；
③作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长；

解答解：（1）在图1中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
在Rt△ABC中，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴$\frac{1}{2}$AB•CN=$\frac{1}{2}$BC•AC，
CN=$\frac{12}{5}$，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GF}{AB}$，
设正方形边长为x，
则$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}=\frac{x}{5}$，
∴x=$\frac{60}{37}$；
（2）①在图2中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GF}{AB}$，
设每个正方形边长为x，则
$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$=$\frac{2x}{5}$，
∴x=$\frac{60}{49}$．
故答案为：$\frac{60}{49}$．
②类比①，在图3中，
∵△CGF∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GF}{AB}$，
设每个正方形边长为x，则
$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$=$\frac{3x}{5}$
∴x=$\frac{60}{61}$．
故答案为：$\frac{60}{61}$．
③在图4中，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，
∵△CGF∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GF}{AB}$，
设每个正方形边长为x，则
$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$=$\frac{nx}{5}$，
∴x=$\frac{60}{25+12n}$．
故答案为：$\frac{60}{25+12n}$．

点评主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键．

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