Question

如图⊙O的半径为1，弦AB，CD的长度分别为

2

，1，则弦AB，CD所夹的锐角α=

 

．

Answer 1

分析：连接OA、OB、OC、OD．构建等腰直角三角形AOD、等边三角形COD，然后利用它们的性质及三角形内角和来求α=180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD=75°．

解答：解：连接OA、OB、OC、OD，
∵OA=OB=OC=OD=1，AB=

2

，CD=1，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，
∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，
∴α=180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-（∠CDB+∠ODB）=180°-45°-60°=75°．
故答案是：75°．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角的性质，等边三角形的性质以及三角形的内角和定理．本题通过作辅助线“连接OA、OB、OC、OD”构建等腰直角三角形AOD、等边三角形COD，然后利用它们的性质解答问题．