Question

18．请完成以下问题：
（1）如图1，$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）连结BC，交OD于点H，若要证明AB是⊙O的直径，则可证明∠ACB=90°即可；
（2）连结AD，BD，连结BC交OD于点H，易证△DBH∽△DAB，由相似三角形的性质以及三角形中位线定理即可得到y与x的函数关系式．

解答 解：
（1）证明：连结BC，交OD于点H，（如图1）
∵$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，
∴OD⊥BC，
即∠OHB=90°，
∵弦AC与半径OD平行，
∴∠ACB=∠OHB=90°，
∴弦AB是圆的直径（90^°的圆周角所对的弦是直径）；
（2）如图2，连结AD，BD，连结BC交OD于点H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵弦AC与半径OD平行，
∴∠ACB=∠OHB=90°，
∴OD⊥BC，
∴$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，
∴CD=BD=x，
∴∠DBC=∠DAB，
∴△DBH∽△DAB，
∴$\frac{DH}{DB}=\frac{DB}{AB}$，
∵O是AB的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$y，
∴DH=OD-OH=r-$\frac{1}{2}$y，
即$\frac{{r-\frac{1}{2}y}}{x}=\frac{x}{2r}$，
化简得：y=2r-$\frac{{x}^{2}}{r}$．

点评 本题考查了相似三角形的判断和性质、圆周角定理的运用、平行线的判断和性质以及三角形中位线定理的运用，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键．