Question

如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论为（　　）  
①BF=2OH；②∠CHF=45°；③BC=4GH；④DH²=HE•HB．

A．①③④

B．①②④

C．①②③

D．②③④

Answer 1

分析：①首先可证得△BCE≌△DCF，继而可求得∠EHF=90°，利用等腰三角形中的三线合一的性质，可证得DH=FH，又由OB=OD，即可证得OH是△DBF的中位线，根据三角形中位线的性质，即可判定BF=2OH；
②由①易求得∠HFC=67.5°，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易证得CH=HF，即可求得∠HCF=∠HFC，继而求得∠CHF=45°；
③由三角形中位线的性质，可证得GH=

1

2

CF=

1

2

CE＜

1

2

CG，CG=

1

2

BC，可得BC＞4GH；
④易证得△DHE∽△BHD，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得DH²=HE•HB．

解答：解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠BCE=∠DCF EC=FC

，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CDF=∠CBE，
∵∠CDF+∠F=90°，
∴∠CBE+∠F=90°，
∴∠BHF=90°，
∴BH⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴DH=HF，
∵OB=OD，
∴OH是△DBF的中位线，
∴OH∥BF
∴OH=

1

2

BF，
即BF=2OH；
故正确；
②∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴∠EFC=45°，
∵∠HFE=22.5°，
∴∠HFC=∠HFE+∠EFC=67.5°，
∵DH=FH，∠DCF=90°，
∴CH=FH=

1

2

DF，
∴∠HCF=∠HFC=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠HFC=45°；
故正确；
③∵OH是△BFD的中位线，
∴OG，GH分别是△DBC与△DCF的中位线，
∴DG=CG=

1

2

BC，GH=

1

2

CF，
∵CE=CF，
∴GH=

1

2

CF=

1

2

CE，
∵CE＜CG=

1

2

BC，
∴GH＜

1

4

BC，
即BC＞4GH，
故错误；
④∵∠DBF=45°，BE是∠DBF的平分线，
∴∠DBH=22.5°，
∵DE=EF，
∴∠CDF=

1

2

∠CEF=22.5°，
∴∠DBH=∠CDF，
∵∠BHD=∠BHD，
∴△DHE∽△BHD，
∴DH：BH=HE：DH，
∴DH²=HE•HB，
故正确；
所以①②④正确．
故选B．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．