Question

12．如图，等边△ABO在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的图象经过AB的中点D，交OB于E．
（1）求直线OB的解析式及k值；
（2）求△BDE的面积．

Answer 1

分析 （1）过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=AC=2，根据等边三角形的性质求得OC和BC的长，得到点B的坐标，然后根据待定系数法求得直线OB的解析式；根据中点的性质求得AB的中点D的坐标，代入y=$\frac{k}{x}$，即可求得k的值；
（2）先将直线OB的解析式与反比例函数的解析式联立求出E点坐标，求出BE、BD的长，再作EF⊥BD于F，求出EF，然后根据三角形面积公式求解即可．

解答 解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△ABO是等边三角形，点A的坐标为（4，0），
∴OC=AC=2．
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴B（2，2$\sqrt{3}$），
设直线OB的函数解析式为y=mx，则2$\sqrt{3}$=2m，
∴m=$\sqrt{3}$．
∴直线OB的函数解析式为y=$\sqrt{3}$x；
∵D为AB的中点，
∴D（3，$\sqrt{3}$），
∴k=3$\sqrt{3}$；

（2）将y=$\sqrt{3}$x代入y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$，得$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$，
解得x=±$\sqrt{3}$（负值舍去），
则E（$\sqrt{3}$，3），
∵B（2，2$\sqrt{3}$），D（3，$\sqrt{3}$），
∴BE=$\sqrt{（2-\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}-3）^{2}}$=4-2$\sqrt{3}$，BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$OA=2．
如图，作EF⊥BD于F，则EF=BE•sin∠B=（4-2$\sqrt{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$-3，
∴△BDE的面积=$\frac{1}{2}$BD•EF=$\frac{1}{2}$×2×（2$\sqrt{3}$-3）=2$\sqrt{3}$-3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积．利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．