如图.抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.点D.C关于抛物线的对称轴对称.直线AD与y轴相交于点E．(1)求直线AD的解析式,(2)如图1.直线AD上方的抛物线上有一点F.过点F作FG⊥AD于点G.作FH平行于x轴交直线AD于点H.求△FGH周长的最大值,(3)如图2.点M是抛物线的顶点.点P是y轴上一动点.点Q是坐标平面内一点.四边形APQM是以PM为对角线的平行四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是?APQM面积的$\frac{1}{4}$时，求?APQM面积．

分析（1）根据抛物线解析式求得点A、B、C点坐标，由点D，C关于抛物线的对称轴对称得点D坐标，继而利用待定系数法求解可得；
（2）设点F（x，-x²+2x+3），根据FH∥x轴及直线AD的解析式y=x+1可得点H（-x²+2x+2，-x²+2x+3），继而表示出FH的长度，根据二次函数的性质可得FH的最值情况，易得△FGH为等腰直角三角形，从而可得其周长的最大值；
（3）设P（0，p），根据平行四边形性质及点M坐标可得Q（2，4+p），分P点在AM下方与P点在AM上方两种情况，根据重合部分的面积关系及对称性求得点P的坐标后即可得?APQM面积．

解答解：（1）令-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），C（0，3），
∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（2，3），
∴直线AD的解析式为：y=x+1；

（2）设点F（x，-x²+2x+3），
∵FH∥x轴，
∴H（-x²+2x+2，-x²+2x+3），
∴FH=-x²+2x+2-x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴FH的最大值为$\frac{9}{4}$，
由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，
∵FH∥AB，
∴∠FHG=∠DAB=45°，
∴FG=GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$
故△FGH周长的最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$×2+$\frac{9}{4}$=$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$；

（3）①当P点在AM下方时，如图1，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与?APQM重合部分的面积是?APQM面积的$\frac{1}{4}$，
∴PQ′必过AM中点N（0，2），
∴可知Q′在y轴上，
易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，
故T（1，4），从而T、M重合，
∴?APQM是矩形，
∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，
∵MQ⊥AM，
∴直线QQ′：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
∴4+p=-$\frac{1}{2}$×2+$\frac{9}{2}$，
解得：p=-$\frac{1}{2}$，
∴PN=$\frac{5}{2}$，
∴S_□APQM=2S_△AMP=4S_△ANP=4×$\frac{1}{2}$×PN×AO=4×$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×1=5；

②当P点在AM上方时，如图2，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与?APQM重合部分的面积是?APQM面积的$\frac{1}{4}$，
∴PQ′必过QM中点R（$\frac{3}{2}$，4+$\frac{p}{2}$），
易得直线QQ′：y=-$\frac{1}{2}$x+p+5，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=2x+2\\ y=-\frac{1}{2}x+p+5\end{array}$，
解得：x=$\frac{6+2p}{5}$，y=$\frac{22+4p}{5}$，
∴H（$\frac{6+2p}{5}$，$\frac{22+4p}{5}$），
∵H为QQ′中点，
故易得Q′（$\frac{2+4p}{5}$，$\frac{24+3p}{5}$），
由P（0，p）、R（$\frac{3}{2}$，4+$\frac{p}{2}$）易得直线PR解析式为：y=（$\frac{8}{3}$-$\frac{p}{3}$）x+p，
将Q′（$\frac{2+4p}{5}$，$\frac{24+3p}{5}$）代入到y=（$\frac{8}{3}$-$\frac{p}{3}$）x+p得：$\frac{24+3p}{5}$=（$\frac{8}{3}$-$\frac{p}{3}$）×$\frac{2+4p}{5}$+p，
整理得：p²-9p+14=0，
解得p₁=7，p₂=2（与AM中点N重合，舍去），
∴P（0，7），
∴PN=5，
∴S_□APQM=2S_△AMP=2×$\frac{1}{2}$×PN×|x_M-x_A|=2×$\frac{1}{2}$×5×2=10．
综上所述，?APQM面积为5或10．

点评本题主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质与矩形的判定、性质等知识点，根据点P的位置分类讨论及根据已知条件求出点P的坐标是解决本题的难点．

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