Question

10．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB=6，AD=8，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；
（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；
②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．

解答 （1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF，
∴△BDF是等腰三角形；

（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
∵DF=BF，
∴四边形BFDG是菱形；
②∵AB=6，AD=8，
∴BD=10．
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=5．
假设DF=BF=x，∴AF=AD-DF=8-x．
∴在直角△ABF中，AB²+AF²=BF²，即6²+（8-x）²=x²，
解得x=$\frac{25}{4}$，
即BF=$\frac{25}{4}$，
∴FO=$\sqrt{B{F}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴FG=2FO=$\frac{15}{2}$．

点评 此题考查了四边形综合题，结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答，考查了翻折不变性，综合性较强，是一道好题．