Question

2．阅读并解答：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可．

解答 解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=75°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°．   

（2）如图2，∠MON=$\frac{1}{2}$α，
理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$α+30°，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（$\frac{1}{2}$α+30°）-30°=$\frac{1}{2}$α．   
 
（3）如图3，∠MON=$\frac{1}{2}$α，与β的大小无关．    
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．         
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（α+β），
∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠AON=∠AOC-∠NOC=α+β-$\frac{1}{2}$β=α+$\frac{1}{2}$β．       
∴∠MON=∠MOC-∠NOC
=$\frac{1}{2}$（α+β）-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α           
即∠MON=$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON=∠MOC-∠NOC．