Question

（2013•奉贤区一模）如图，已知在四边形ABCD中，AC⊥AB，BD⊥CD，AC与BD相交于点E，S_△AED=9，S_△BEC=25．
（1）求证：∠DAC=∠CBD；
（2）求cos∠AEB的值．

Answer 1

分析：（1）先由∠BAC=∠BDC=90°与∠AEB=∠DEC，证得△ABE∽△DCE；即可证得

AE

BE

=

DE

EC

，又由∠AED=∠BEC，证得△AED∽△BEC，故可得出∠DAC=∠CBD；
（2）由（1）知△AED∽△BEC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得AE与BE的比值，由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答：（1）证明：∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴

AE

DE

=

BE

EC

，即

AE

BE

=

DE

EC

，
又∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∴∠DAC=∠CBD；

（2）解：∵△AED∽△BEC，S_△AED=9，S_△BEC=25，
∴

AE

BE

=

9 25

=

3

5

，
∴在Rt△ABE中，cos∠AEB=

AE

BE

=

3

5

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据题意得出△ABE∽△DCE是解答此题的关键．