Question

【题目】在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAPQ，∠APQ=Rt∠，直线AQ交y轴于点C．

（1）当a=1时，则点Q的坐标为；
（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a=时，AQ+BQ的值最小为 ．

Answer 1

【答案】
（1）（4,4）
（2）,
【解析】（1）过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．

∵BP∥OA，PE⊥OA，

∴∠EPF=∠PEO=90°．

∵∠APQ=90°，

∴∠EPA=∠FPQ=90°﹣∠APF．在△PEA和△PFQ中， ，

∴△PEA≌△PFQ．

∴PE=PF，EA=QF．

∵a=1，

∴P（1，3）．

∴OE=BP=1，PE=3．

∵A（2，0），

∴OA=2，

∴EA=1．

∴PF=3，QF=1．

∴点Q的坐标为（4，4）．

（ 2 ）若点P的坐标为（a，3），则PF=PE=3，QF=AE=|2﹣a|．

∴点Q的坐标为（a+3，5﹣a）．

∵无论a为何值，点Q的坐标（a+3，5﹣a）都满足一次函数解析式y=﹣x+8，

∴点Q始终在直线y=﹣x+8上运动．设直线y=﹣x+8与x轴、y轴分别交于点M、N，如图2所示．

当x=0时y=8，当y=0时x=8．

∴OM=ON=8．

∵∠AOB=90°，

∴∠OMN=45°．

过点A关于直线MN作对称点A′，连A′Q、A′M，则A′Q=AQ，A′M=AM=6，∠A′MN=∠AMN=45°．

∴∠A′MA=90°，AQ+BQ=A′Q+BQ．根据两点之间线段最短可知：当A′、Q、B三点共线时，AQ+BQ=A′Q+BQ最短，最小值为A′B长．设直线BP与A′M相交于点H，

则BH⊥A′M．在Rt△A′HB中，∠A′HB=90，BH=OM=8，A′H=A′M﹣MH=6﹣3=3，

∴A′B= = = ．当A′、Q、B三点共线时，

∵BN∥A′M，

∴△BQN～△A′QM．根据相似三角形对应高的比等于相似比可得： ，解得xQ= ．

∴a+3= ．

∴a= ．

∴当a= 时，AQ+BQ的值最小为 ．

所以答案是：（1）（4，4）；（2） ； ．

【考点精析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．