Question

6．已知抛物线y=x²-2x-3．将该抛物线在x轴下方的部分（不包含与x轴的交点）记为G．若直线y=x+b与G只有一个公共点，则b的取值范围是-3≤b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 先确定该抛物线在x轴下方的部分G，再确定b的范围．当抛物线和直线相切时，也符合题意．所以需分类讨论．

解答 ①当抛物线y=x²-2x-3与x轴相交时，其交点坐标为（-1，0），（3，0）．
当直线y=x+b经过点（-1，0）时-1+b=0，可得b=1，
∵在x轴下方的部分，
∴b＜0，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
当直线y=x+b经过点B（3，0）时，3+b=0，则b=-3；
则符合题意的b的取值范围为-3≤b＜1．
②根据题意，若直线y=kx+b与抛物线相切时，直线与抛物线有一个交点．此时$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=x+b}\end{array}\right.$
只有一个解．即x²-3x-3-b=0，
则△=9+4（3+b）=0，
解得，b=-$\frac{21}{4}$．
综合①②知，b的取值范围是-3≤b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．
故答案是：-3≤b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，一次函数的性质及抛物线和直线相切的情况．把函数问题转化为方程，是解决本题的关键．