Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.

(1)求证：AB＝AC；

(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）2

【解析】【试题分析】（1）连接AD.利用中垂线的性质证明即可；（2）∵∠BAC＝60°，由(1)知AB＝AC，根据有一角是60°的等腰三角形是等边三角形，得：△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得：∠C＝60°.因为AB＝2×4＝8，则DC＝BC＝AB＝4.又∵因为DE⊥AC，根据三角形函数解得：DE＝DC·sinC＝4·sin60°＝2.

【试题解析】

(1)连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵DC＝BD，∴AB＝AC.

(2)∵∠BAC＝60°，由(1)知AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°.

∵AB＝2×4＝8，∴DC＝BC＝AB＝4.又∵DE⊥AC，∴DE＝DC·sinC＝4·sin60°＝2.