Question

11．如图，已知点A、P在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象上，点B、Q在直线y=x-3的图象上，点B的纵坐标为-1，AB⊥x轴，且S_△OAB=4．若P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为（m，n）．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求m²+n²的值．

Answer 1

分析 （1）可先求得B点坐标，再结合△OAB的面积可求得AB的长，则可求得A点坐标，把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）把P点坐标代入反比例函数解析式可求得mn=-10，利用对称可求得Q点的坐标，代入直线y=x-3，可求得m+n=-3，再利用完全平方公式可求得答案．

解答 解
（1）∵点B、Q在直线y=x-3的图象上，点B的纵坐标为-1，
∴x-3=-1，解得x=2，
∴B（2，-1），
∵S_△OAB=4，
∴$\frac{1}{2}$AB×2=4，解得AB=4，
∴A点坐标为（2，-5），
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象上，
∴-5=$\frac{k}{2}$，解得k=-10；
（2）∵点P（m，n）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象上，
∴mn=-10，
∵P、Q两点关于y轴对称，
∴Q点坐标为（-m，n），
∵点Q在直线y=x-3的图象上，
∴-m-3=n，即m+n=-3，
∴m²+n²=（m+n）²-2mn=（-3）²-2×（-10）=9+20=29．

点评 本题主要考查函数图象的交点问题，掌握函数图象的交点坐标满足每一个函数的解析式是解题的关键．