Question

已知三位数

.

abc

，其平方数的末三位数也是

.

abc

，求满足条件的所有的三位数．

Answer 1

分析：根据题意可得这个三位数为100a+10b+c，可得（100a+10b+c）²=10000a²+2000ab+100（b²+2ac）+20bc+c² ，故c是1或5或6．分类讨论即可求解．

解答：解：显然，这个三位数为100a+10b+c 所以
（100a+10b+c）²
=10000a²+100b²+c²+2000ab+20bc+200ac
=10000a²+2000ab+100（b²+2ac）+20bc+c² ，
所以由条件可知c²的个位是c，
故c是1或5或6．下面分类讨论：
①当c=1时，可发现b=0（因为要使2bc的个位=b，即2b=b，则除b=0外没有其它数）
则a=0（因为要使（b²+2ac）=2a的个位=a，则也除a=0外没有其它数）
而a=0不合题意，舍去．
②当c=5时，
则2bc的个位+2=10b的个位+2=0+2=b（加的2是由c²=25的十位2加进来的），
故b=2，而（b²+2ac）的个位+2=（4+10a）的个位+2=4+2=6=a（加的2是由20bc=200的百位2加进来的）
所以a=6，即此三位数为625．
③当c=6时，
则2bc的个位+3=12b的个位+3=b，即只有b=7成立．
而（b²+2ac）的个位+8=（49+12a）的个位+8=a（加的8是由20bc=840的百位8加进来的），即也只有a=3成立．
即此三位数为376．
所以综上所述，三位数为625或376

点评：考查了因式分解的应用，本题关键是得到c的值，及分类思想的运用．