Question

△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是

32或42

．

Answer 1

分析：本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．

解答：解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD=

AB2-AD2

=

152-122

=9，
在Rt△ACD中，
CD=

AC2-AD2

=

132-122

=5
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；

（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

152-122

=9，
在Rt△ACD中，CD=

AC2-AD2

=

132-122

=5，
∴BC=9-5=4．
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．
综上所述，△ABC的周长是42或32．
故填：42或32．

点评：此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．