Question

如图a，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线函数式为，AD=8，矩形ABCD沿DB方向以每秒一个单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经B到达终点C，用了14秒．
（1）求矩形ABCD周长；
（2）如图b，当P到达B时，求点P坐标；
（3）当点P在运动时，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，
①如图c，当P在BC上运动时，矩形PEOF的边能否与矩形ABCD的边对应成比例？若能，求出时间t的值，若不能，说明理由；
②如图d，当P在AB上运动时，矩形PEOF的面积能否等于256？若能，求出时间t的值，若不能，说明理由；

Answer 1

解：（1）∵AD=8，B点在y=x上，
∴y=×8=6，
B点坐标为（8，6），
AB=6，
∴矩形的周长=2（AD+AB）=2（8+6）=28；

（2）当P到达B时，∵AB=6，
∴共运动6秒，
∴OD=6，
设点D的横坐标是a，
则纵坐标是a，
∴a²+（a）²=6²，
解得a=，
∴×=，
+8=，+6=，
∴点P的坐标是P（，）；

（3）①当P在BC上运动时，即6≤t≤14，
点D的坐标是（t，t），
14-t+t=14-，
∴点P的坐标是（14-t，t+6），
假设矩形PEOF的边能与矩形ABCD的边对应成比例，
则若，则，解得t=6，
当t=6时，点P与点B重合，此时矩形PEOF与矩形BADC是位似形．
若=，则 ，
解得t=，
因为＞14，此时点P不在BC边上，舍去．
综上，当t=6时，点P到达点B，矩形PEOF与矩形BADC是相似图形，对应边成比例；

②当P在AB上运动时，即0≤t≤6，
点D的坐标是（t，t），
t+t=t，
∴点P的坐标为（8+t，t）．
∴矩形PEOF的面积=（8+t）（t）=256，
整理得：t²+10t-200=0，
解得t₁=10，t₂=-20，
t₁=10，t₂=-20都不合题意，故不能．
故答案为：（1）矩形ABCD的周长为28；（2）P（，）；（3）①t=6；②故不能．
分析：（1）根据题意，AD=8，B点在y=x上，把x=8代入函数解析式求出y=6，则B点坐标为（8，6），所以AB=6，可求得矩形的周长为28；
（2）P点到达点B时，共运动6秒，可得OD的长度是6，然后求出点D的坐标，横坐标加上AD的长度8，纵坐标加上AB的长度6，即可得到点B的坐标，也就是点P的坐标；
（3）①当点P在BC边运动时，即6≤t≤14，分别表示出点D的坐标，点P的坐标为，然后根据相似多边形的对应边成比例列出比例式求解，如果t在取值范围内，则能，否则不能；
②当P在AB上运动时，即0≤t≤6，求出点P的坐标，然后根据矩形的面积公式列式求解求出t的值，如果t在取值范围内，则能，否则不能．
点评：本题主要考查了函数和几何图形的综合运用，解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．