Question

13．阅读下面的材料，回答问题：
爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x²-6x+10=（x²-6x+9-9）+10=（x-3）²-9+10=（x-3）²+1≥1；因此x²-6x+10有最小值是1；
（1）尝试：-3x²-6x+5=-3（x²+2x+1-1）+5=-3（x+1）²+8，因此-3x²-6x+5有最大值是8
（2）应用：有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成一个的长方形花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据偶次方的非负性解答；
（2）设围成的长方形的长为x米，用x表示出长方形的面积，运用配方法把式子化为完全平方的形式，根据非负数的性质解答即可．

解答 解：（1）-3x²-6x+5=-3（x²+2x+1-1）+5=-3（x+1）²+8≥8，
所以，-3x²-6x+5有最大值是8，
故答案为：8；
（2）设围成的长方形的长为x米，则宽为$\frac{1}{2}$（24-x），
由题意得，围成的长方形的面积=$\frac{1}{2}$（24-x）×x
=-$\frac{1}{2}$x²+12x
=-$\frac{1}{2}$（x-12）²+72，
当x=12时，面积的最大值是72，
∴能围成面积最大的花圃，最大面积是72平方米．

点评 本题考查的是配方法的应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．