Question

如图，△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，两内角的平分线CD、BE交于点O，OF平分∠BOC交BC于F，

（1）∠BOC=120°；（2）连AO，则AO平分∠BAC；（3）A、O、F三点在同一直线上，

（4）OD=OE，（5）BD+CE=BC．

其中正确的结论是______（填序号）．

Answer 1

解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∴（∠ABC+∠ACB）=60°，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠EBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BOC=180°-（∠EBC+∠DCB）=120°，∴①正确；

过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，
∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，
∴OM=ON，ON=OQ，
∴OQ=OM，
∴O在∠A平分线上，∴②正确；
∵AB＞AC，
∴∠ABC＜∠ACB，
∴∠OBC＜∠OCB，
∴OB＞OC，
即A、O、F不在同一直线上，∴③错误；
∵∠B0C=120°，
∴∠D0E=120°，
OM⊥AB，OQ⊥AC，ON⊥BC，
∴∠AMO=∠AQO=90°，
∵∠A=60°，
∴∠MOQ=120°，
∴∠DOM=∠EOQ，
在△OMD和△OQE中

∴△OMD≌△OQE（AAS），
∴OE=OD，∴④正确；
在Rt△BNO与Rt△BMO中

∴Rt△BNO≌Rt△BMO（HL），
同理，Rt△CNO≌Rt△CQO，
∴BN=BD+DM①，CN=CE-EQ②，
两式相加得，BN+CN=BD+DM+CE-EQ，
∵DM=EQ，
∴BC=BD+CE，∴⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
分析：根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB度数，求出∠EBC+∠DCB度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可，根据角平分线性质求出OQ=OM=ON，根据角平分线性质求出AO平分∠BAC即可；证△MOD≌△QOE，即可推出OD=OE，通过全等求出BM=BN，CN=CQ，代入即可求出BD+CE=BC．
点评：本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．