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    已知：A、B、C不在同一直线上．

    (1)若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

    A、B、C如图一，当∠A＝45°时，R＝1，求∠BOC的度数和BC的长度；

    Ⅱ．如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A＝；

    (2)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN(B、C均与点A不重合)滑动，如图三，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由．

    答案：
    解析：

    　　解：(1)．①

    　　∠BOC＝90°(同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半)；

    　　由勾股定理可知BC＝＝

    　　(提示：也可延长BO或过点O作BC边的垂线段)

    　　②证明：可连接BO并延长，交圆于点E，连接EC．

    　　可知EC⊥BC(直径所对的圆周角为90°)

    　　且∠E＝∠BAC(同弧所对的圆周角相等)

    　　故sin∠A＝．

    　　(2)保持不变．

    　　可知△CQP∽△BQA，且∠AQP＝∠BQC，所以△BCQ∽△APQ；

    　　即；AP＝＝(为定值)．

    　　故保持不变．


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    （I）如图一，当∠A=45 °时，R=1 ，求∠BOC 的度数和BC 的长度； 
    （Ⅱ）如图二，当∠A 为锐角时，求证sin ∠A=；
    （2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.

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    已知：A、B、C不在同一直线上.

    （1）.若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

    A、B、C如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；

    Ⅱ.如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A=；

    （2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.　　　　　　　　 N　 Q

    　

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