【题目】如图,等腰 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于D,∠ABC 的平分线分别交 AC,AD 于E,F,点M 为 EF 的中点,AM 的延长线交 BC 于N,连接 DM,NF,EN.下列结论:①△AFE为等腰三角形;②△BDF≌△ADN;③NF所在的直线垂直平分AB;④DM平分∠BMN;⑤AE=EN=NC;⑥.其中正确结论的个数是( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】D
【解析】
①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°,再根据三角形外角性质得∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°,∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°,则得到∠AEF=∠AFE,可判断△AEF为等腰三角形,于是可对①进行判断;求出BD=AD,∠DBF=∠DAN,∠BDF=∠ADN,证△DFB≌△DAN,由题意可得BF>BD=AD,所以BFAF,所以点F不在线段AB的垂直平分线上,所以③不正确,由∠ADB=∠AMB=90°, 可知A、B、D、M四点共圆, 可求出∠ABM=∠ADM=22.5°,继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°, 即可求出DM平分∠BMN ,所以④正确;根据全等三角形的性质可得△AFB≌△CAN, 继而可得AE=CN,根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN,所以⑤正确;根据等腰三角形的判定可得△BAN是等腰三角形,可得BD=AB,继而可得,由⑤可得,所以⑥正确.
解:∵等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°,
∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°,∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE,
∴△AEF为等腰三角形,所以①正确;
∵∠BAC=90°,AC=AB,AD⊥BC,
∴∠ABC=∠C=45°,AD=BD=CD,∠ADN=∠ADB=90°,
∴∠BAD=45°=∠CAD,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC=22.5°,
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°,
∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°,
∴AF=AE,AM⊥BE,
∴∠AMF=∠AME=90°,
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN,
在△FBD和△NAD中,
∠FBD=∠DAN ,BD=AD ,∠BDF=∠ADN ,
∴△FBD≌△NAD,所以②正确;
因为BF>BD=AD,
所以BFAF,
所以点F不在线段AB的垂直平分线上,所以③不正确
∵∠ADB=∠AMB=90°,
∴A、B、D、M四点共圆,
∴∠ABM=∠ADM=22.5°,
∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°,
∴DM平分∠BMN ,所以④正确;
在△AFB和△CNA中,
∠BAF=∠C=45°,AB=AC, ∠ABF=∠CAN=22.5°,
∴△AFB≌△CAN(ASA),
∴AF=CN,
∵AF=AE,
∴AE=CN,
∵AE=AF,FM=EM,
∴AM⊥EF,
∴∠BMA=∠BMN=90°,
∵BM=BM,∠MBA=∠MBN,
∴△MBA≌△MBN,
∴AM=MN,
∴BE垂直平分线段AN,
∴AB=BN,EA=EN,
∵BE=BE,
∴△ABE≌△NBE,
∴∠ENB=∠EAB=90°,
∴EN⊥NC.
∴△ENC是等腰直角三角形,
∴AE=CN=EN,所以⑤正确;
∵AF=FN,
所以∠FAN =∠FNA,
因为∠BAD =∠FND=45°,
所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND,
所以∠BAN =∠BNA,
所以AB=BN,
所以,
由⑤可知,△ENC是等腰直角三角形,AE=CN=EN,
∴,
所以,所以⑥正确,
故选D.
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【题目】下图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果
下面有三个推断:
①当抛掷次数是100时,计算机记录“正面向上”的次数是47,所以“正面向上”的概率是0.47;
②随着试验次数的增加,“正面向上”的频率总在0.5附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“正面向上”的概率是0.5;
③若再次用计算机模拟此实验,则当抛掷次数为150时,“正面向上”的频率一定是0.45.
其中合理的是
A. ① B. ② C. ①② D. ①③
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【题目】如图,是以为斜边的等腰直角三角形,为的中点,点、、分别为线段,,上的一点,以为直角顶点的等腰直角三角形,,连结.
(1)当与点重合时,求的长.
(2)当时,求的面积.
(3)①比较与的面积大小关系,并说明理由.
②当的面积为6时,求的长.
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【题目】如图,直线l1:y1=x和直线l2:y2=﹣2x+6相交于点A,直线l2与x轴交于点B,动点P沿路线O→A→B运动.
(1)求点A的坐标,并回答当x取何值时y1>y2?
(2)求△AOB的面积;
(3)当△POB的面积是△AOB的面积的一半时,求出这时点P的坐标.
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【题目】如图,等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,点A,B分别在坐标轴上.
(1)如图①,若点C的横坐标为5,求点B的坐标.
(2)如图②,若BC交x轴于M,过C作CD⊥BC交y轴于D . 求证:BC-CD=MC.
(3)如图③,若点A的坐标为(-4,0),点B是y轴正半轴上的一个动点,分别以OB,AB为直角边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF(∠OBF=90°)、等腰Rt△ABE(∠ABE=90°),连接EF交y轴于点P,当点B在y轴上运动时,PB的长度是否发生改变?若不变,求出PB的值;若变化,求PB的取值范围.
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【题目】已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为_____秒时,△ABP和△DCE全等.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,在边长为1的正方形的边上有—动点沿正方形运动一周,则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是( )
A. B. C. D.
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【题目】一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,9),并与直线y=x相交于点B,与x轴相交于点C,其中点B的横坐标为3.
(1)求B点的坐标和k,b的值;
(2)点Q为直线y=kx+b上一动点,当点Q运动到何位置时△OBQ的面积等于?请求出点Q的坐标;
(3)在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形?若存在,请直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由.
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