Question

20．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，延长AC至点F，并连接BF，使∠CAB=2∠CBF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=10，tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，求BC及BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE．欲证BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
（2）作辅助线CG（过点C作CG⊥BF于点G）构建平行线BF∥CG．由直角三角函数和勾股定理求得AE=4$\sqrt{5}$，BC=2BE=4$\sqrt{5}$，然后通过△ABE∽△CBG，求得GC和BG，进而求得AG，然后根据△AGC∽△ABF，即可求得BF．

解答 （1）证明：连接AE．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BAE+∠ABE=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；
∵∠CAB=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，
∵OB是半径，
∴BF为⊙O的切线；

（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠BAE=$\frac{1}{2}$，
设AE=2x，BE=x，
在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB²，
∴x²+（2x）²=100，
解得x=2$\sqrt{5}$，
∴AE=4$\sqrt{5}$，BC=2BE=4$\sqrt{5}$，
∵∠AEB=∠CGB=90°，∠ABE=∠CBG，
∴△ABE∽△CBG，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AE}{CG}$=$\frac{BE}{BG}$，即$\frac{10}{4\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{CG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{BG}$，
∴CG=8，BG=4，
∴AG=AB-BG=10-4=6，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{GC}{BF}$，
∴BF=$\frac{GC•AB}{AG}$=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、平行线截线段成比例、直角所对的圆周角是直角、三角形相似的判定和性质等知识点．