Question

如图，在坐标平面中，直线y=2x+12分别交x轴、y轴于A、B，把△AOB绕点O旋转，使点B落在x轴正半轴点C处，A落在y轴上点D处，直线CD于AB相交于点E．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点P为线段CD上一点，过点P坐x轴的平行线交直线BC于F，设P点的横坐标为m，△PDF的面积为S平方单位，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若△PCF与△BCP相似，求P点坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）求直线解析式，常规做法就是确定直线上两点的坐标，然后代入y=kx+b，利用待定系数法确定解析式．而根据旋转的特性，C、D坐标不难求得．
（2）求S与m的函数关系式，由于S的值和三角形的底高有关系，那么先选着合适的高和底，用m分别将其底高表示出来是解决问题的关键．表示后在合并表示S．
（3）两个三角形相似可以得到对应角相等及对应边成比例．题目中设点P的横坐标为m，表示为线长，且此题与角的内容相关较少，则可考虑对应边成比例，有PC2=BC•CF．然后根据前两问求出相关边长（用m表示），利用勾股定理表示出PC，BC，CF，则可得关于m的方程，求出即可，注意结果要符合题意，去掉不合实际项．

解答：解：（1）由直线y=2x+12分别交x轴、y轴于A、B两点，
则A、B两点坐标分别为：A（-6，0），B（0，12）
则OA=6，OB=12
∵△AOB≌△DOC
∴OD=OA=6，OC=OB=12
则C、D两点坐标分别为：C（12，0），D（0，6）
设直线CD的解析式为y=kx+b，分别代入C、D两点，整理得直线CD的解析式为y=-

1

2

x+6．
（2）
如图，过点P作PF∥AC交BC于F，连接DF，反向延长FP交BO于G
∵由P在直线CD上
∴点P的坐标为（m，-

1

2

m+6）
∵∠GOC=90°
∴∠DGP=90°
∴GP=m，GO=-

1

2

m+6
∴F点的纵坐标为-

1

2

m+6
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（0，12），C（12，0）
整理得直线BC的解析式为y=-x+12
又∵F在BC上，
∴F点的坐标为（6+

1

2

m，6-

1

2

m）
∴GF=6+

1

2

m
∴DG=DO-GO=6-(-

1

2

m+6)=

1

2

m
PF=GF-GP=(6+

1

2

m)-m=6-

1

2

m
∴S=

1

2

DG•PF
=

1

2

•

1

2

m•(6-

1

2

m)
=-

1

8

m2+

3

2

m
（3）如图，

连接BP，过P作PH⊥OC于H，过F作FI⊥OC于I
∵△PCF∽△BCP
∴

PC

CF

=

BC

CP

∴PC²=BC•CF
在Rt△PHC中，
∵PH=GO=6-

1

2

m，CH=OC-OH=12-m
∴PC²=PH²+HC²=

5

4

m2-30m+180
在Rt△BOC中，
∵BO=12，CO=12
∴BC=12

2

又FI∥BO
∴

FC

BC

=

FI

BO

∴FC=

BC•FI

BO

=

12 2 •(6- 1 2 m)

12

=

2

•(6-

1

2

m)
∴

5

4

m2-30m+180=12

2

•

2

•(6-

1

2

m)
∴(

5

2

m-6)•(

1

2

m-6)=0
∴m=

12

5

或m=12．
当m=12时，点P与点C重合，不合题意舍去，故△PCF∽△BCP时，m=

12

5

，即P（

12

5

，

24

5

）．

点评：本题难度较高，第一问为常规题．第二问，第三问则需要学生明晰自己的解题目标，利用m表示出相关边长．这里不仅需要扎实的知识基础，更要较高的计算能力．这里注意，在直角坐标系中任意两点的连线长度可以过端点做关于x轴、y轴平行线构造直角三角形，再利用勾股定理求得．