Question

5．如图所示，将矩形ABCD纸板剪出一个宽AE=5的矩形AEFD，再将它绕着中心O顺时针旋转，使其中两个顶点分别与点A和点F重合，得到矩形AMFN，再沿着直线AB向右平移使点M和点N分别落在边BC和边EF上，得到矩形GHIJ，当$\frac{AD}{AB}$=$\frac{5}{6}$时，矩形ABCD的周长为66．

Answer 1

分析 由平移的性质得FI=AG，根据余角的性质得到∠1=∠5，推出△IFJ≌△BGH，根据全等三角形的性质得到BG=IF，求得BG=AG，CI=GE，设AD=5k，AB=6k，得到AG=BG=3k，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：由平移的性质得FI=AG，
∵∠IFJ=∠IJG=∠JGH=∠B=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠5，
在△IFJ与△BHG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠5}\\{∠IFJ=∠B}\\{IJ=HG}\end{array}\right.$，
∴△IFJ≌△BGH，
∴BG=IF，
∴BG=AG，CI=GE，
∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{5}{6}$，
设AD=5k，AB=6k，
∴AG=BG=3k，
∵GH=AD=5k，
∴BH=4k，
∴CH=k，
∵CI=6k-5-5-CI，
∴CI=3k-5，
∵CI²+CH²=IH²，
∴（3k-5）²+k²=25，
∴k=3，
∴AD=15，AB=18，
∴矩形ABCD的周长=2（15+18）=66，
故答案为：66．

点评 本题考查了旋转和平移的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键．