Question

如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动． 动直线EF从轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥轴），并且分别与轴、线段AB交于E、F点．连结FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．

（1）当t＝1秒时，求梯形OPFE的面积；
（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（3）设t的值分别取t₁、t₂时(t₁≠t₂)，所对应的三角形分别为△AF₁P₁和△AF₂P₂．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．

Answer 1

（1）18；（2）50；（3）相似

试题分析：（1）先根据直线的性质求出A、B两点的坐标，再根据点A的移动规律，得到AP的长，从而求出OP的长；又因为EF=BE，用OB的长减去OE的长即可求出EF的长；从而利用梯形面积公式求出梯形OPFE面积；
（2）设OE=t，AP=3t，利用梯形面积公式，将梯形面积转化为关于t的二次函数表达式，求二次函数的最大值即可；
（3）作FD⊥x轴于D，则四边形OEFD为矩形．求出三角形各边的长度表达式，计算出对应边的比值，加上一个夹角相等，即可得到结果.
设梯形OPFE的面积为S.
(1) A(20，0)，B(0，20)
∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°
当t=1时，OE=1，AP=3
∴OP=17，EF=BE=19
∴S=(OP+EF)·OE=18；
(2) OE=t，AP=3t
∴OP=20-3t，EF=BE=20-t
∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t=-2t²+20t=-2(t-5)²+50
∴当t="5" (在0<t<范围内)时，S_最大值=50；
(3) 作FD⊥x轴于D，则四边形OEFD为矩形

∴FD=OE=t，AF=FD=t，又AP=3t
当t=t₁时，AF₁=t₁，AP₁=3t₁
当t=t₂时，AF₂=t₂，AP₂=3t₂
∴，又∠A=∠A
∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.
点评：解答本题的关键是熟记求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．