Question

如图所示，已知等腰△ABC中AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点，且CE=CD，AD=DE．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）如果把AD改为△ABC的中线或高，（其它条件不变）请判断（1）中结论是否依然成立？（不要求证明）

Answer 1

（1）证明：∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，
∴∠ACB=2∠E．
又∵AD=DE，∴∠E=∠DAC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠DAC=2∠E，
∴∠ACB=∠BAC，∴BA=BC．
又∵AB=AC，∴AB=BC=AC．
∴△ABC是等边三角形．

（2）解：当AD为△ABC的中线或高时，结论依然成立．
分析：（1）根据等腰三角形的性质可得，角平分线AD同时也是三角形ABC底边BC的高，即∠ADC=90°． 再加上已知条件可推出∠DAC=30°，即可知三角形ABC是等边三角形．（2）在等腰三角形ABC中，如果其他条件不变，则AD同时是角平分线、中线及高，所以（1）中结论仍然成立．
点评：此题主要考查了等边三角形的判定，综合利用了等腰三角形和直角三角形的性质． 同时要掌握等腰三角形中底边的高、中线和角平分线重合的性质．