Question

如图，△ABC是边长为1的等边三角形，⊙O分别切边AB、BC于D、E两点，交AC于G、F两点．

（1）如图1，当FG=

1

2

时，求⊙O的直径；
（2）如图2，求∠DEF的度数．

Answer 1

考点：切线的性质,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,垂径定理

专题：几何综合题

分析：（1）连接BO并延长，交圆O于H，连接OD，OE，由圆O于AB及AC相切，利用切线的性质得到OD与AB垂直，OE与BC垂直，又圆的半径OD=OE，根据角平分线的逆定理得到BH为角平分线，再由三角形ABC为等边三角形，根据三线合一得到BH与AC垂直，即OH垂直于GF，利用垂径定理可得H为GF的中点，同时得出∠ABH为30°，在直角三角形BOD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OB=2OD，根据等边三角形的边长为1，求出高BH的长，设圆O的半径为r，由BH-BO表示出OH，在直角三角形OHG中，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值；
（2）连接OE，由圆O与BC相切，可得OE垂直于BC，由三角形ABC为等边三角形，可得∠C为60°，进而利用三角形的内角和定理求出∠EOC为30°，又∵BD与BE都与圆O相切，根据切线长定理得到BD=BE，又∵∠B为60°，可得三角形BDE为等边三角形，推出∠BDE=∠BAC=60°，根据同位角相等两直线平行可得DE与AC平行，根据两直线平行内错角相等可得OED=∠COE=30°，又∵OE=OF，根据等边对等角可得一对底角相等，由顶角的度数求出底角∠OEF的度数，利用∠DEF=∠OED+∠OEF即可求出∠DEF的度数．

解答：解：（1）连接BO并延长，交GF于点H，连接OD，OE，
∵圆O于AB、AC相切，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，又OD=OE，
∴BE平分∠ABC，又△ABC为等边三角形，
∴BH⊥GF，
∴H为GF的中点，BH为∠ABC的平分线，
∴∠ABH=

1

2

∠ABC=30°，
∴OD=

1

2

OB，
又FG=

1

2

，
∴GH=FH=

1

2

GF=

1

4

，
∵等边三角形ABC的边长为1，
∴BH=

AB2-AH2

=

3

2

，
设圆O的半径为r，则OB=2r，OH=BH-OB=

3

2

-2r，
在Rt△OGH中，OG²=GH²+OH²，即r²=（

1

4

）²+（

3

2

-2r）²，
整理得：48r²-32

3

r+13=0，
解得：r=

4 3 ±3

12

，
∵

3

2

-2r＞0，可得r＜

3

4

，
∴r=

4 3 +3

12

不合题意，舍去，
则圆的直径2r=

4 3 -3

6

；


（2）连接EO，∵圆O与BC相切，E为切点，
∴OE⊥BC，
由∠C=60°，在直角三角形OEC中，∠COE=90°-∠C=30°，
∵圆O分别切边AB、BC于D、E两点，
∴BD=BE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE=∠BAC=60°，
∴DE∥AC，
∴∠OED=∠COE=30°，
又∵OE=OF，
∴∠OEF=75°，
∴∠DEF=∠OED+∠OEF=30°+75°=105°．

点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，垂径定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．