Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，以AB为直径作⊙O恰好与CD相切．

（1）求证：AD+BC=CD；

（2）若E为OA的中点，连结CE并延长交DA的延长线于F，当AE=AF时，求sin∠DCF．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）sin∠DCF=．

【解析】

（1）作OH⊥CD于H，如图，根据切线的性质得到点H为切点，再证明AD和BC都与⊙O相切，则根据切线长定理得到DA=DH，CB=CH，于是有AD+BC=DH+CH=CD；

（2）先判断△AEF为等腰直角三角形得到∠F=45°，再判断△OBC为等腰直角三角形得BE=BC，作DG⊥BC于G，如图，易得四边形ABGD为矩形，则设AE=AF=x，AD=y，所以BE=BC=3x，CD=y+3x，DG=4x，CG=CB-BG=3x-y，接着在Rt△DGC中利用勾股定理可计算出y=x，则CD=x，DF=x；作DK⊥CF于K，如图，则△KDF为等腰直角三角形，于是DK=DF=x，然后在Rt△CDK中根据正弦的定义求解．

（1）证明：作OH⊥CD于H，如图，

∵以AB为直径作⊙O与CD相切，

∴点H为切点，

∵∠ABC=90°，AD∥BC，

∴AD⊥AB，BC⊥AB，

∴AD和BC都与⊙O相切，

∴DA=DH，CB=CH，

∴AD+BC=DH+CH=CD；

（2）解：∵AE=AF，∠EAF=90°，

∴△AEF为等腰直角三角形，

∴∠F=45°，

∵AF∥BC，

∴∠FCB=45°，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴BE=BC，

作DG⊥BC于G，如图，易得四边形ABGD为矩形，

设AE=AF=x，AD=y，则BE=BC=3x，

∴CD=y+3x，DG=4x，CG=CB﹣BG=3x﹣y，

在Rt△DGC中，∵DG2+CG2=CD2，

∴（4x）2+（3x﹣y）2=（y+3x）2，

∴y=x，

∴CD=x+3x=x，DF=x+x=x，

作DK⊥CF于K，如图，则△KDF为等腰直角三角形，

∴DK=DF=x，

在Rt△CDK中，sin∠DCK===，

即sin∠DCF=．