Question

如图，，个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆、半圆、半圆……、半圆的半径分别是、、……、，则____________.

 

Answer 1

【答案】

3

【解析】连接C₁A，C₂B，C₃C，

∵三半圆都与直线OC相切，

∴C₁A⊥OA，C₁B⊥OB，C₃C⊥OC，

又∵三个半圆依次与直线y= x相切并且圆心都在x轴上，

∴y= x的倾斜角是30°，

又∵三半圆彼此相外切，

∴O C₁=2 C₁A=2r₁，0 C₁=2 C₁B=2r₂=O C₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0 C₃=2 C₃C=O C₁+r₁+2r₂+r₃=2r₃，

∴2r₂=3r₁+r₂，

∴r₂=3r₁，

∵r₁=1=30，∴r₂=3=31，

∴O C₁=2，0 C₁=2r₂=6r₁=6，0 C₃=18，

∴r₃=9=3²，

∴按此规律归纳得：r_n=3^n-1，

则=3．