Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．

（1）求证：OP∥BC；

（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的直径AB＝4．

【解析】

（1）由题意可知，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；

（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，由∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD=4．

（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．

∴

∴∠AOP＝∠COP，

∴∠AOP＝∠AOC，

又∵∠ABC＝∠AOC，

∴∠AOP＝∠ABC，

∴PO∥BC；

（2）解：连接PC，

∵CD为圆O的切线，

∴OC⊥CD，又AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠APO＝∠COP，

∵∠AOP＝∠COP，

∴∠APO＝∠AOP，

∴OA＝AP，

∵OA＝OP，

∴△APO为等边三角形，

∴∠AOP＝60°，

又∵OP∥BC，

∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，

∴△BCO为等边三角形，

∴∠COB＝60°，

∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，

∴△POC也为等边三角形，

∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，

又∵∠OCD＝90°，

∴∠PCD＝30°，

在Rt△PCD中，PD＝PC，

又∵PC＝OP＝AB，

∴PD＝AB，

∴AB＝4PD＝4．